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郭士雅博客

水因善下终归海,山不争高自成峰

 
 
 

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探数理之源 寻算法之根——“平均数”教学赏析   

2017-05-13 07:29:03|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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平均数是“统计与概率”教学的重要内容之一,如何帮助学生既能掌握计算平均数的方法,又能真正理解平均数的概念,一直是教师追求的方向。俞正强老师执教的“平均数”一课,从探平均数数理之源入手,挖掘出平均数“代表了”数学本质,在此基础上寻找平均数算法之根,巧妙解决了算理与算法的融合,为后续拓展平均数运用之路奠定了坚实的基础。 唇枪舌战 找出最“真实”的数    探源———探平均数“数理”之源 师:小明爸爸帮他测得60 米跑的时间:15 秒、14 秒、12 秒、10 秒、14 秒。小明到学校要填写个人60 米跑的成绩。我发现他填了一个数字:15 秒。但之后又把15 秒涂掉了,我想问问大家,他为什么把15 秒涂掉?如果是你会涂掉吗? 生:不会。 生:会涂掉,15 秒是他跑得最慢的一次,并不是他每一次都是这个速度。 师:他愿意报告给老师吗?你认为他的说法有道理吗? 生:有道理。(生陆续说) 师:刚才小朋友说了,如果换成我也涂掉,因为15 秒是他所有成绩当中? 生:最慢的。 师:他把跑得最慢的填在上面,他甘心吗?你甘心吗?(边说边画去15,连续追问) 生:不甘心。 生:14 出现了2 次,所以应该填14。 师:填最慢的不甘心,你们猜他涂了之后填了哪个数字?(生大部分说14,少数说10) 师:他真的填了个10,没填14。但后来又把它涂掉。你们知道他为什么又涂掉呢?如果你,你会涂掉吗? 生:我会。 师:为什么会涂掉呢?10 秒是他跑出的什么成绩呀? 生:最好的。 师:这是他昨天跑出来最快的一次成绩。他能不能保证每次都跑10 秒呀? 生:不能。 师:他如果填了10 秒,老师叫他跑,他跑不出来,会是什么感觉? 生:很尴尬。(连续追问) 生:会感觉欺骗了老师。 师:不好意思,是吧?第一我们不想贬低自己,第二我们又不想让别人感觉欺骗他。保证不了每次都能跑出10 秒,填这个是有点不好意思。我看到他涂掉10 后发呆。我想问一个问题,他最后填了一个数,你们估计他填的是几? 生:他可能填14。(连续追问) 师:同学们,他一定会填14。理由是什么? 生:理由是他跑了两次都是14 秒。 师:在所有成绩当中,14 秒跑的次数? 生:最多。 师:这是最多的呀,所以要填14。你们还有什么意见? 生:我支持填13 秒。 生:我也支持13,因为它们的平均数是13。 师:13 是平均数?有没有第三个答案? 生:12。 师:为什么? 生:因为这样可能保守一点。 师:12,比较保守一点,怎么理解,什么叫保守一点? 生:因为这里面13 并没有出现过,12 是最近的了。 师:13 根本就没出现,对不对?12 出现没有?(12 出现过) 生:它们相差也不大。 师:你觉得12 跟14 比,你们更愿意填几? 生:12。 师:为什么更愿意填12。14 是比较多,但它还比较? 生:慢。 师:填14 秒就有点偏慢,与其偏慢不如来一个? 生:偏快。 师:谁是偏快的呀? 生:12。 师:三个答案出来了,你们觉得哪个答案的可能性比较大? 生:我觉得12、13 秒可能性都比较大。 师:同学们,14 最多但是怎么样? 生:偏慢。 师:12 呢? 生:偏快。 师:那有没有不偏快又不偏慢的? 生:13。 师:13 既不偏快,也不偏慢。13 这个数字怎么样? 生:中等。 师:正好中等,不快不慢。能不能填13 呢? 生:可以。(连续追问) 生:13 是它们的平均数。 师:什么叫平均数?谁告诉你的?13 是平均数?(连续追问) 生:算出来的。 师:怎么算出来的? 生:把5 个数相加再除以5。 师:把5 个数相加再除以5 就是平均数,谁教你的? 生:这个是我从书上看到的。 师:算出来干嘛用呢?(连续追问) 生:解决问题,解决这类问题。 师:同学们,前两种擦掉后,他有三种选择。一种选择是填几? 生:14。 师:理由? 生:跑的次数多。 师:但是? 生:偏慢。 师:第二种选择是? 生:12。 师:但是? 生:偏快。 师:第三种选择是? 生:13。 师:理由? 生:不偏快也不偏慢。 师:13 的缺点呢?他有没有跑出13 秒过? 生:没有。 师:没有跑出来过,他把13 填上去,有什么感觉?你敢填吗? 生:不敢。(连续追问) 生:敢。(弱弱的说) 师:5 位小朋友有4 位不敢。13 没出现过,你怎么敢填上去呢?你有什么理由?明明13 是最好的,13 不快不慢,正正好的数,你敢填吗?(连续追问) 生:填13 就可以,它保险一点,填12 可能不行。 师:可是你跑出来过吗?你不诚实呀。 生:越快越好。 师:那填10 好了。谁来说理由?13 正正好,但是没有跑出来过。 生:虽然没有跑出来过,但是第二天跑的时候真的跑出来呢? 师:什么意思呀? 生:如果下一次跑的时候真的跑出来了呢? 师:听懂了吗?他说现在是没跑出来,但是“下一次”有可能跑出。有可能跑出13 秒吗?(连续追问) 生:有可能。(学生回答) 师:可能性大不大? 生:大。 师:为什么大呢?同学们,他的说法有没有道理? 生:有。 师:虽然这5 次没跑出,但是第6 次有可能吗? 生:有可能。 师:因为13 秒正好是不快不慢。第6 次跑出的可能性大不大?第7 次呢?第8 次呢?这儿没出现过,但是它可能出现在? 生:下一次。(板书) 师:因为这个成绩表示他的速度,正好怎样? 生:不偏快也不偏慢。 师:不偏快也不偏慢,这是最能代表他什么的? 生:成绩。 师:虽然他没有跑出来过,但是,可能他会在“下一次”跑出来。 寻根———寻平均数“算法”之根 师:刚刚有同学说,平均数可以算,把5 个数加起来除以5 能不能算出13 来? 生:(学生独立计算后)是13。 师:同学们,说明这个13 跟这组数有没有关系? 生:有。 师:它是偷偷地躲在这组数后面的一个数。老师这有组材料,你看得懂吗?你能从这里变出一个13 吗?谁来变?(黑板出示学具与图的结合,两名学生上黑板移动学具) ? 师:你看,他变出13 来了。他把一个14,一个12 变成了两个13,15 移2 个给10,14 再移1 个给10,又变出三个13。原来高高低低的,被这两个小朋友变得怎么样了? 生:平了。 师:平了,是几呀? 生:13。 师:“平”出了一个13。这叫均分对不对?平均怎么来的?“平”出来的,“均”出来的,合起来是? 生:平均。 师:厉害!同学们,回到黑板上,看这五个数都很特别?15 特别在哪儿? 生:最慢。 师:10。 生:最快。 师:一个最快,一个最慢。很特别。14 呢? 生:最多。 师:12 呢? 生:偏快。 师:13 呢? 生:不快不慢。 师:对了,13 是正正好。它除了正正好之外,还有个什么特点? 生:没出现。 师:所以,这五个数都很特别,但谁的特点更多? 生:13。 师:它有几个特点? 生:两个。三个。 生:不偏快,不偏慢,没出现。 师:不偏快、不偏慢就是“正正好”,所以它“代表了”。“代表了”是它的特点呀。一共有几个特点? 生:两个特点。 师:符合“没出现”“代表了”两个特点的数叫什么数? 生:平均数。 师:因为它正好,所以,它代表了谁的水平呀?代表作为二年级小朋友的水平。因为它不快也不慢。因为它没跑出来过,怎么得到它? 生:移多补少地“平”出来。 师:他的成绩可以填多少? 生:13。 师:说明13 是最合理的。 生:平均数也不一定非要是不出现呀。 师:这位同学说了,平均数是不是一定没出现呀?不是一定没出现,是可以不出现,补充得非常好。   “折腾了半天,俞老师为什么不直接告诉孩子们怎么求证?因为孩子们还没有建立平均数的概念。俞老师通过让小朋友判断哪一个最合理,来体会13秒所表示的意义,理解平均数可以代表真实的水平”。北京教育科学研究院基础教育教学研究中心小学数学教研室主任吴正宪说,课堂教学一定要找准孩子们的需求点,当他们有需求的时候,他们才会有强烈的求知愿望。   回归零点 数学思想引领教学    对于本节课的设计,俞正强说:“由孩子们的认知冲突引出平均数的概念,并让孩子们思考如何得出平均数的两种方法,一种是以多补少,一种是统起来再均分。这就使孩子们认识到13秒这个平均数是各个数里面最合理的一个,从而领会平均数的意义。”    “刚才课上有小朋友问‘为什么不是15呢’,俞老师没有直接给出‘因为它不是平均数’的答案,而是回到教学零点,带孩子们进入60米跑这个情境,慢慢地对平均数有所理解。”中央民族大学教授孙晓天说,“在平均数的教学中,老师们要注意两点,一是样本量不能太小,二是它反映的是整体水平。俞老师的这节课实际上带学生初步体验了统计学的知识。”    “将统计的思想融入平均数的教学是俞老师的设计初衷。”北京教科院基教研中心张丹老师认为,同样一组数据,能提取出很多信息,平均数只是一个角度而已。俞老师的课不仅告诉学生什么是平均数,还让他们知道为什么要学习平均数、学习统计学,以及如何在统计的大背景下去看平均数。“我们要给学生数学的养分,不仅仅是知识的养分,更重要是开窍的养分,是数学思想的养分。”张丹说,“中国的孩子太缺乏自己制定标准的能力了,统计是一种创造,是孩子们内心的呼唤——‘我就要自己定标准’。”
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